각기둥, 각뿔, 정다면체 꼭지점, 모서리, 면의 개수를 구하는 방법

안녕하세요. 혀코입니다.

오늘은 각기둥, 각뿔, 정다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 개수를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다.

 

각기둥, 각뿔, 정다면체에서 공통적으로 적용되는 공식이 하나 있습니다.

바로 오일러의 공식입니다.

꼭지점의 수 + 면의 수 - 모서리의 수 = 2

 

꼭지점의 수와 면의 수가 주어지는 경우의 모서리의 수를 구하려면 

꼭지점의 수 + 면의 수 - 2 = 모서리의 수 

이렇게 계산하시면 됩니다.

 

각기둥

각기둥	꼭지점의 수	모서리의 수	면의 수	공식
삼각기둥	3 * 2 = 6	3 * 3 = 9	3 + 2 = 5	6 + 5 - 9 = 2
사각기둥	4 * 2 = 8	4 * 3 = 12	4 + 2 = 6	8 + 6 - 12 = 2
오각기둥	5 * 2 = 10	5 * 3 = 15	5 + 2 = 7	10 + 7 - 15 = 2
육각기둥	6 * 2 = 12	6 * 3 = 18	6 + 2 = 8	12 + 8 - 18 = 2
칠각기둥	7 * 2 = 14	7 * 3 = 21	7 + 2 = 9	14 + 9 - 21 = 2
팔각기둥	8 * 2 = 16	8 * 3 = 24	8 + 2 = 10	16 + 10 - 24 = 2
구각기둥	9 * 2 = 18	9 * 3 = 27	9 + 2 = 11	18 + 11 - 27 = 2

 

각뿔

각뿔	꼭지점의 수	모서리의 수	면의 수	공식
삼각뿔	3 + 1 = 4	3 * 2 = 6	3 + 1 = 4	4 + 4 - 6 = 2
사각뿔	4 + 1 = 5	4 * 2 = 8	4 + 1 = 5	5 + 5 - 8 = 2
오각뿔	5 + 1 = 6	5 * 2 = 10	5 + 1 = 6	6 + 6 - 10 = 2
육각뿔	6 + 1 = 7	6 * 2 = 12	6 + 1 = 7	7 + 7 - 12 = 2
칠각뿔	7 + 1 = 8	7 * 2 = 14	7 + 1 = 8	8 + 8 - 14 = 2
팔각뿔	8 + 1 = 9	8 * 2 = 16	8 + 1 = 9	9 + 9 - 16 = 2
구각뿔	9 + 1 = 10	9 * 2 = 18	9 + 1 = 10	10 + 10 - 18 = 2

 

정다면체

정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 / 클릭하시면 크게 볼 수 있습니다.

 

정다면체는 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고, 각 꼭지점에 모이는 변의 개수가 모두 같은 다면체로 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 이렇게 5개 종류가 있습니다.

정다면체가 5개 종류 밖에 없는 이유는 정삼각형의 경우 6개 이상의 경우 360도가 되어 평면이 되고, 정사각형의 경우 4개 이상의 경우 360도가 되어 평면이 되고, 정오각형의 경우 4개 이상의 경우 360도가 넘어 입체를 만들기 어렵고 정육각형의 경우 3개만 있어도 한 꼭지점에 모이는 각이 360도가 되어 평면이 되기 때문에 입체를 만들지 못하기 때문에 정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 이렇게 5개 종류 밖에 없습니다.

정다면체의 꼭지점의 개수는 면의 수 * 한 면의 각의 수 / 한 꼭지점에 모이는 모서리의 수 이렇게 구할 수 있습니다. 따라서,  각 정다면체의 꼭지점의 개수는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

정사면체 : 4(4면) x 3(삼각형) / 3 = 4  

정육면체 : 6(6면) x 4(사각형) / 3 = 8

정팔면체 : 8(8면) x 3(삼각형) / 4 = 6

정십이면체 : 12(12면) x 5(오각형) / 3 = 20

정이십면체 : 20(20면) x 3(삼각형) / 5 = 12

 

모서리의 수는 오일러의 공식에 따라서 "꼭지점의 수 + 면의 수 - 2 = 모서리의 수" 이렇게 계산할 수 있습니다.

정다면체	면의 모양	꼭지점	면	모서리
정사면체	삼각형	4 x 3 / 3 = 4	4	4 + 4 - 2 = 6
정육면체	사각형	6 x 4 / 3 = 8	6	8 + 6 - 2 = 12
정팔면체	삼각형	8 x 3 / 4 = 6	8	6 + 8 - 2 = 12
정십이면체	오각형	12 x 5 / 3 = 20	12	20 + 12 - 2 = 30
정이십면체	삼각형	20 x 2 / 5 = 12	20	12 + 20 - 2 = 30

 

이렇게 각기둥, 각뿔, 정다면체의 꼭지점, 모서리, 면의 개수를 구하는 방법에 대해서 알아봤습니다.

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